数学公式整理（持续更细）

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• 出来工作了，发现慢慢很多数学公式太久不用，概念都忘了，最近在学习图像处理相关的知识遇到了，还是得再补补，出来混的，迟早是要还的。

标准差

先来个百科的介绍吧：

• 标准差也被称为标准偏差，标准差(Standard Deviation)描述各数据偏离平均数的距离（离均差）的平均数，它是离差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度，标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。平均数相同的两个数据集，标准差未必相同。

例子：

• 例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差应该是18.708分,B组的标准差应该是2.366分，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。

总体标准偏差与样本标准偏差区别

• 总体标准偏差：针对总体数据的偏差，所以要平均，
• 样本标准偏差，也称实验标准偏差：针对从总体抽样，利用样本来计算总体偏差，为了使算出的值与总体水平更接近，就必须将算出的标准偏差的值适度放大，即，

公式 样本标准偏差 :$$ S =\sqrt{ \frac 1 {N-1} \sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2}$$

• $ \bar X$ 代表所采用的样本X1,X2,…,Xn的均值。 总体标准偏差 : $ \sigma =\sqrt {\frac 1 N \sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}$
• $ \mu$ 代表总体X的均值。

计算步骤编辑

• 样本标准偏差的计算步骤是：

• 步骤一、(每个样本数据 减去样本全部数据的平均值)。

• 步骤二、把步骤一所得的各个数值的平方相加。

• 步骤三、把步骤二的结果除以 (n - 1)（“n”指样本数目）。

• 步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。

• 总体标准偏差的计算步骤是：

• 步骤一、(每个样本数据 减去总体全部数据的平均值)。

• 步骤二、把步骤一所得的各个数值的平方相加。

• 步骤三、把步骤二的结果除以 n （“n”指总体数目）。

• 步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是总体的标准偏差。

方差

方差的定义

• 方差在统计描述和概率分布中各有不同的定义，并有不同的公式。
• 在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。为避免出现离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。

总体方差计算公式：$$ \sigma^2 = \frac { \sum_{i=1}^n (X-\mu)^2} N $$

• $\sigma^2$为总体方差， X为变量，$ \mu$ 为总体均值， X为总体例数。
• 实际工作中，总体均数难以得到时，应用样本统计量代替总体参数

样本方差计算公式：$$\sigma^2 = \frac { \sum_{i=1}^n (X-\bar X)^2} {N-1} $$

• $\sigma^2$为样本方差，X为变量，$\bar X $ 为样本均值，N为样本例数。

期望

• 在概率和统计学中，一个随机变量的期望值是变量的输出值乘以其机率的总和，换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。

积分

• 积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。
• 通常分为定积分和不定积分两种。
• 直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。
• 如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。如同上面介绍的，对于只有一个变量x的实值函数f，f在闭区间[a,b]上的积分记作

$$\int_a^bf(x)dx$$

• 其中的$ dx$除了表示x是f中要进行积分的那个变量（积分变量）之外，还可以表示不同的含义
• 如果变量不只一个，比如说在二重积分中，函数 $f(x,y)$ 在区域D上的积分记作$\iint_Df(x,y)dxdy$